Question

若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶聚合”点集．现有四个命题：

①若M={（x，y）|y=2x}，则存在正数t，使得M是“t阶聚合”点集；

②若M={（x，y）|y=x²}，则M是“阶聚合”点集；

③若M={（x，y）|x²+y²+2x+4y=0}，则M是“2阶聚合”点集；

④若M={（x，y）|x²+y²≤1}是“t阶聚合”点集，则t的取值范围是（0，1]．

其中正确命题的序号为（  ）

A．①②    B．②③    C．①④    D．③④

Answer

C

【解析】

试题分析：首先，对于①，直接判断即可，对于②：取（2，4），代人验证即可，对于③：取（1，﹣1）验证即可，对于④：则直接根据“t阶聚合”点集进行求解．

【解析】
对于①：M={（x，y）|y=2x}，

∴（tx，ty）∈M，

∴①正确；

对于②：∵M={（x，y）|y=x2}，

∴取（2，4），

而点（1，2）∉M，

∴②错误；

对于③：取（1，﹣1）为集合M上的一点，

则（2，﹣2）∉M，

∴③错误；

对于④：∵x2+2y2≤1，根据题意，得

∴t2（x2+2y2）≤1，

∵t∈（0，+∞），

∴t∈（0，1]．

∴④正确；

故选：C

考点：集合的表示法．