Question

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且离心率为，M为椭圆上一点，△MF₁F₂的周长为2+2．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线l过点F₂，l与圆O：x²+y²=5相交于P，Q两点，l与椭圆E相交于R，S两点，若|PQ|∈[4，]，求△F₁RS的面积的最大值和最小值．

Answer

（1）=1．（2）△F1RS的面积的最大值是，最小值是．

【解析】

试题分析：（1）由已知得e==，2a+2c=2+2，由此能求出椭圆的方程．

（2）设l：x=my+1，与椭圆联立，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，由此利用点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合题意条件能求出△F1RS的面积的最大值和最小值．

【解析】
（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴e==，①

∵F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上任意一点，且△PF1F2的周长为2+2，

∴2a+2c=2，②

联立①②，解得a=，c=1，∴b2=3﹣1=2，

∴椭圆的方程为=1．

（2）由题知直线l的斜率为0时不满足题意，

设l：x=my+1，O到l的距离d=，

∴|PQ|=2∈[4，]，∴0≤m2≤3．

联立，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，

△=（4m）2+16（2m2+3）＞0恒成立，

设R（x1，y1），S（x2，y2），则，，

∴|y1﹣y2|===，

∴=|y1﹣y2|•|F1F2|=，

令t=m2+1∈[1，4]，

∴=，

∵f（t）=4t+在[1，4]上单调递增，∴f（t）=[5，]，

∴∈[]，

∴△F1RS的面积的最大值是，最小值是．

考点：椭圆的简单性质．