Question

某省高中男生升高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16），现从该省某高校三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第六组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；

（3）从被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，记该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

Answer

（1）171.5．（2）10人．（3）1．

【解析】

试题分析：（1）由频率分布直方图能求出该校高三年级男生平均身高．

（2）由频率分布直方图知后两组频率为0.2，由此能求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数．

（3）由题意随机变量ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．

【解析】
（1）由频率分布直方图得该校高三年级男生平均身高为：

160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5．

（2）由频率分布直方图知后两组频率为0.2，人数为0.2×50=10，

即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数为10人．

（3）∵P（170.5﹣3×4＜ξ＜170.5+3×4）=0.9974，

∴P（ξ≥182.5）==0.0013，

而0.0013×100000=130，

∴全省前130名身高在182.5cm以上，这50人中182.5cm以上的有5人，

随机变量ξ可取0，1，2，

P（ξ=0）==，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

E（ξ）==1．

考点：离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．