Question

（2015秋•晋中期末）在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=．

（1）求a_n与b_n；

（2）若对于∀n∈N^*，不等式+++…+＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）an=3n，bn=3n﹣1；（2）t≥．

【解析】

试题分析：（1）通过设等差数列{an}的公差为d，联立b2+S2=12及q=，计算即得公差和公比，进而可得结论；

（2）通过（1）裂项可知=（﹣），进而利用并项相消法计算、放缩即得结论．

【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，

∵b2+S2=12，q=，

∴q+6+d=12、q=，

解得：q=3或q=﹣4（舍），d=3，

∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1；

（2）由（1）可知==（﹣），

∴+++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）

=（1﹣），

∵n≥1，

∴（1﹣）＜，

∴t≥．

考点：数列的求和；数列递推式．