Question

如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．

（1）求证：PH⊥平面ABCD；

（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）连结OP，推导出OP⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明PH⊥平面ABCD．

（2）过点O作OZ∥PH，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

证明：（1）连结OP，如图所示，

∵PB=PD，∴OP⊥BD，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，

又∵AC∩OP=O，∴BD⊥平面PAC，

又PH⊂平面PAC，∴BD⊥PH，

在Rt△POB中，OB=1，PB=2，∴OP=，

又PC=，H为OC的中点，∴PH⊥平面ABCD．

【解析】
（2）过点O作OZ∥PH，则OZ⊥平面ABCD，

如图，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（），B（0，1，0），C（﹣，0，0），P（﹣，0，），E（，0，），

∴=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（，0，），

设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，

令x=1，则=（1，），

∴cos＜＞===．

∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．

考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．