Question

表面积为40π的球面上有四点S、A、B、C且△SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为（  ）

A．2    B．    C．6    D．

Answer

C

【解析】

试题分析：作出直观图，根据球和等边三角形的性质计算△SAB的面积和棱锥的最大高度，代入体积公式计算．

【解析】
过O作OF⊥平面SAB，则F为△SAB的中心，过F作FE⊥SA于E点，则E为SA中点，取AB中点D，连结SD，则∠ASD=30°，

设球O半径为r，则4πr2=40π，解得r=．连结OS，则OS=r=，OF=，∴SF==2．

∴DF=EF=，SE==．∴SA=2SE=2，S△SAB=SA2=6．

过O作OM⊥平面ABC，则当C，M，D三点共线时，C到平面SAB的距离最大，即三棱锥S﹣ABC体积最大．

连结OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四边形OMDF是矩形，∴MD=OF=，OM=DF=．∴CM==2．

∴CD=CM+DM=3．

∴三棱锥S﹣ABC体积V=S△SAB•CD==6．

故选C．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．