Question

设函数f（x）=e^x﹣ax﹣2．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer

（Ⅰ）f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（Ⅱ）整数k的最大值为2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；

（Ⅱ）由题设条件结合（Ⅰ），将不等式，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；

【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，

若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．

若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；

所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1

故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①

令g（x）=，则g′（x）=

由（Ⅰ）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，

而h（1）＜0，h（2）＞0，

所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，

故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）

当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；

所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．

又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）

由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．