Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别满足a₁a₂…a_n=n（n﹣1）…2•1，b₁+b₂+…+b_n=a_n²．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）若数列{}的前n项和为S_n，若对任意x∈R，a_nS_n＞﹣x²﹣2x+9恒成立，求自然数n的最小值．

Answer

（1）an=n．bn=2n﹣1．（2）21．

【解析】

试题分析：（1）由a1a2…an=n（n﹣1）…2•1，得a1a2…an﹣1=（n﹣1）（n﹣2）…2•1，n≥2，两式相除得an=n；由b1+b2+…+bn=an2=n2，得b1+b2+…+bn﹣1=（n﹣1）2，两式相减得bn=2n﹣1．

（2）由==，利用裂项求和法能求出对任意x∈R，anSn＞﹣x2﹣2x+9恒成立的自然数n的最小值．

【解析】
（1）由a1a2…an=n（n﹣1）…2•1，

得a1a2…an﹣1=（n﹣1）（n﹣2）…2•1，n≥2，

两式相除得an=n，n≥2，又n=1时，a1=1，满足上式，

∴an=n．…（3分）

由b1+b2+…+bn=an2=n2，得b1+b2+…+bn﹣1=（n﹣1）2，

∴bn=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，（n≥2），

又b1=1，故bn=2n﹣1．

（2）∵==，

∴Sn=

=

=，

∴nSn=，而g（x）=﹣x2﹣2x+9的最大值为10，

f（n）=＞10恒成立即可，

n2＞10（2n+1），

∴n2﹣20n﹣10＞0，解得n≥21，

∴n的最小值为21．

考点：数列的求和；数列与不等式的综合．