Question

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos²ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁﹣x₂|的最小值为．

（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；  

（2）求f（x）在区间（0，]的取值范围．

Answer

（1）函数的图象的对称轴方程为 x=+，k∈Z．（2）[1，2]．

【解析】

试题分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．

（2）由x∈（0，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

【解析】
（1）已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣=asin2ωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，

可得=2，∴a=1，f（x）=sin2ωx+cosωx=2sin（2ωx+）．

x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为==，∴ω=2，

f（x）=2sin（4x+）．

令4x+=kπ+，求得x=+，故函数的图象的对称轴方程为 x=+，k∈Z．

（2）∵x∈（0，]，∴4x+∈（，]，∴sin（4x+）∈[，1]，2sin（4x+）∈[1，2]，

即f（x）在区间（0，]的取值范围为[1，2]．

考点：正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．