Question

已知椭圆C：2x²+3y²=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；

（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a，b，c，进而得到离心率；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，代入椭圆方程，求得纵坐标，进而得到弦长；

（Ⅲ）设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，运用韦达定理，以及中点坐标公式可得P的坐标，再由向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而判断存在这样是直线l．

【解析】
（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2=6，即为

+=1，可得a=，b=，c=1，

即有e==；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，

代入椭圆方程可得y2=，解得y=±，

则线段AB的长为；

（Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，

可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y1+y2=，

即有中点P的坐标为（，），

直线OP：y=﹣x，代入椭圆方程，可得

x=±，

可设xN=，xM=﹣，

假设存在直线l使得|NP|=3|PM|，

即有=3，

即为﹣=3（﹣﹣），

解得m=±，

则存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|．

考点：椭圆的简单性质．