Question

设函数f（x）=x³+x²+x，g（x）=2x²+4x十c．

（Ⅰ）x=﹣1是函数f（x）的极值点吗？说明理由；

（Ⅱ）当x∈[﹣3，4]对，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．

（Ⅲ）证明：当x∈R时，e^x+x²﹣1≥f（x）．

Answer

（Ⅰ）x=﹣1不是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）﹣＜c＜或c=﹣9；（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而进行判断即可；

（Ⅱ）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可；

（Ⅲ）问题转化为ex﹣x3﹣x﹣1≥0在R上恒成立，令h（x）=ex﹣x3﹣x﹣1，求出h（x）的导数，得到h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，从而证出结论．

【解析】
（Ⅰ）f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，

函数f（x）在R上单调递增，

函数无极值点，

故x=﹣1不是函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，

设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．

列表如下：

x

﹣3

（﹣3，﹣1）

﹣1

（﹣1，3）

3

（3，4）

4

F′（x）

+

0

﹣

0

+

F（x）

﹣9

﹣9

﹣

由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．

当x=﹣1时，F（x）取得极大值F（﹣1）=；当x=3时，F（x）取得极小值

F（﹣3）=F（3）=﹣9，而F（4）=﹣．

如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，

所以﹣＜c＜或c=﹣9；

（Ⅲ）由ex+x2﹣1≥f（x）=x3+x2+x，

即ex﹣x3﹣x﹣1≥0在R上恒成立，

令h（x）=ex﹣x3﹣x﹣1，

则h′（x）=ex﹣x2﹣1，

令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，

∴h（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，

∴h（x）min=h（0）=0，

∴h（x）≥0，

即当x∈R时，ex+x2﹣1≥f（x）．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．