Question

已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）y=x﹣2或y=﹣x﹣2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．

【解析】
（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得又，

所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．

（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，

从而

又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，

设，则t＞0，，

当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，

所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．