Question

设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线．

（1）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）（，+∞）．

【解析】

试题分析：（1）先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得抛物线的焦点坐标．先看直线l的斜率不存在时，显然x1+x2=0；看直线斜率存在时设斜率为k，截距为b，进而用A，B的坐标表示出线段AB的中点代入设的直线方程，及用A，B的坐标表示出直线的斜率，联立方程可分别求得x1+x2和x21+x22的表达式进而求得b的范围，判断即l的斜率存在时，不可能经过焦点F．最后综合可得结论．

（2）设直线l的方程为：y=2x+b，进而可得过直线AB的方程，代入抛物线方程，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据AB的中点的坐标及b和m的关系求得b的范围．

【解析】
（1）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，

∴焦点为F（0，）

①直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0

②直线l的斜率存在时，设为k，截距为b

即直线l：y=kx+b由已知得：

⇒⇒

⇒x12+x22=﹣+b≥0⇒b≥．

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）

所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F

（2）【解析】
设直线l的方程为：y=2x+b′，

故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x2+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．

由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．

由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），

则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．

即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．

考点：抛物线的应用；直线的斜率；恒过定点的直线．