Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC₁；

（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）利用ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，证明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2，说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．

（2）设CB1∩BC1=E，说明E为C1B的中点，说明AC1∥DE，然后证明AC1∥平面CDB1．

【解析】
（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴CC1⊥AC

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB

又C1C∩CB=C，

∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，

∴AC⊥BC1

（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，

∴E为C1B的中点

又D为AB中点，∴AC1∥DE

DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．