Question

已知函数．
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3．若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，Sn）也在y=f′（x）的图象上；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．

Answer

（Ⅰ）由题意知f′（x）=x2+2x，由点（an，an+12-2an+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，知（an-1-an）（an+1-an-2）=0，所以=f'（n），故点（n，Sn）也在函数y=f′（x）的图象上．
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x=0或x=-2．然后列表求解函数f（x）在区间（a-1，A、）内的极值．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为，所以f′（x）=x2+2x，
由点（an，an+12-2an+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，
又an＞0（n∈N+），所以（an-1-an）（an+1-an-2）=0，
所以，又因为f′（n）=n2+2n，所以Sn=f'（n），
故点（n，Sn）也在函数y=f′（x）的图象上．

（Ⅱ）【解析】
f'（x）=x2+2x=x（x+2），由f'（x）=0，得x=0或x=-2．
当x变化时，f'（x）﹑f（x）的变化情况如下表：

注意到|（a-1）-a|=1＜2，从而
①当，此时f（x）无极小值；
②当a-1＜0＜a，即0＜a＜1时，f（x）的极小值为f（0）=-2，此时f（x）无极大值；
③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时，f（x）既无极大值又无极小值．