Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，S_n是数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞42+4n成立的n的最小值．

Answer

（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，依题意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，故a3=8．a2+a4=20．由此能够推导出an=2n．
（Ⅱ）bn=log22n+1=n+1，．故由题意可得，由此能求出满足条件的n的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，依题意有2（a3+2）=a2+a4，（1）
又a2+a3+a4=28，将（1）代入得a3=8．
所以a2+a4=20．
于是有（3分）
解得或（6分）
又{an}是递增的，故a1=2，q=2．（7分）
所以an=2n．（8分）
（Ⅱ）bn=log22n+1=n+1，．（10分）
故由题意可得，
解得n＞12或n＜-7．又n∈N*．（12分）
所以满足条件的n的最小值为13．（13分）