Question

某市对居民生活用水的收费方法是：水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费．若每月用水量不超过限量am³时，只收取基本用水费8元和每户每月的定额水损耗费c元；若用水量超过am³时，除了要收取同上的基本用水费和定额水损耗费外，超过部分每m³还要收取b元的超额用水费．已知每户每月的定额水损耗费不超过5元．右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况． 根据上表中的数据，求出a，b，c的值．

月份	用水量（m^3）	水费（元）
1	9	9
2	15	19
3	22	33

Answer

根据题意，所列函数应为分段函数，利用表格数据，可知第二、三月份的水费均超过13元，故其用水量15m3、22m3都应超过限量am3，同时一月用水未超过限量，故利用相应的函数关系式，即可求出参数的值．
【解析】
设该家庭每月用水量xm3，支付的水费为y元，则
当0≤x≤a时，支付的水费为y=8+c；
当x＞a时，支付的水费为y=8+b（x-a）+c．
∴支付的水费为y=…（3分）
由题设，知0＜c≤5，∴8+c≤13．…（4分）
由表知，第二、三月份的水费均超过13元，故其用水量15m3、22m3都应超过限量am3．
把x=15，x=22分别代入②，可得8+b（15-a）+c=19，8+b（22-a）+c=33．…（8分）
两式相减，得7b=14，
∴b=2．（1分）                        …（10分）
从而2a=c+19．③（1分）
下面分析一月份该户的用水量是否超过限量：若超过了限量则9＞a，
将x=9代入②，可得2a=c+17，这与③矛盾．
∴a≥9，即一月用水未超过限量．
从而一月份付款方式应为①，
∴8+c=9          
∴c=1．…（16分）
∴a=10．
故a=10，b=2，c=1．…（18分）