(1)在三角形PAB中,利用中位线定理可得DM∥PA,再用线面平等的判定定理可以证出DM∥平面PAC;
(2)在三角形PAB中,根据中线PD=AB,证出PA⊥PB.再结合PA⊥PC,利用线面垂直的判定定理证出AP⊥平面PBC,从而得到AP⊥BC.同理,证出BC⊥平面PAC,最后用面面垂直的判定定理可以得到平面PAC⊥平面ABC;
(3)根据前面的证明,不难得到DM⊥平面BCM,则DM是三棱锥D-BCM的高,根据题中所给的数据,求出,,从而得到VM-BCD=VD-BCM=.
【解析】
(1)∵△PAB中,D为AB中点,M为PB中点,
∴DM∥PA
∵DM⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,
∴DM∥平面PAC…(4分)
(2)∵D是AB的中点,△PDB是正三角形,AB=20,
∴.…(5分)
∴△PAB是直角三角形,且AP⊥PB,…(6分)
又∵AP⊥PC,PB∩PC=P,PB、PC⊂平面PBC
∴AP⊥平面PBC. …(8分)
∵BC⊂平面PBC
∴AP⊥BC. …(10分)
又∵AC⊥BC,AP∩AC=A,AP、AC⊂平面PAC.
∴BC⊥平面PAC.…(12分)
∵BC⊂平面ABC.
∴平面PAC⊥平面ABC.…(14分)
(3)由(1)知DM∥PA,由(2)知PA⊥平面PBC,
∴DM⊥平面PBC.…(15分)
∵正三角形PDB中易求得,…(16分)
且.…(17分)
∴.…(18分)