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如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、...

manfen5.com 满分网如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)当k=manfen5.com 满分网时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;
(Ⅱ)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
方法一:(Ⅰ)先作出线面角,由题意知,OD∥PA,故可转化为求OD与面PBC的夹角问题,由题设条件知取BC的中点E,连PE,则O在线PE上的垂足必在PE上,设其为F,则可证得∠ODF所求的线面角,下据条件求之. (Ⅱ)若F是重心,则必有BFD三点共线,又D是中点,故定有BC=PB,可求得k=1′. 方法二;建立空间坐标系,对(Ⅰ)求出线的方向向量与面的法向量,由公式求得线面角的正弦. 对于(Ⅱ)设出相应点的坐标,由重心坐标公式把重心坐标用三顶点的坐标表示出来,再由线面垂直建立方程求. 【解析】 方法一: (Ⅰ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角. 又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成的角的大小等于∠ODF,在Rt△ODG中,sin∠ODF==, ∴PA与平面PBC所成角为arcsin. (Ⅱ)由(I)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影. ∵D是PC的中点, 若点F是△PBC的重心,则B,F,D三点共线, ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC,∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1. 反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥, ∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心. 方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图). 设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0), 设OP=h,则P(0,0,h) (Ⅰ)∵k=,即PA=2a,∴h=a,∴=(a,0,-a), 可求得平面PBC的法向量=(1.-1,-),∴cos<,>==, 设PA与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=cos<,>=, (Ⅱ)△PBC的重心G(-a,a,h),∴=(-a,a,h), ∵OG⊥平面PBC,∴⊥, 又=(0,a,-h),∴•=-=0,∴PA==a,即k=1, 反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥. ∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
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考点分析:
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①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;
③若点O是四面体ABCD外接球的球心,则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心;
④若四个面是全等的三角形,则四面体ABCD是正四面体.
其中正确命题的序号是    (填上所有正确命题的序号). 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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