Question

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若，当关于x的方程f（x）=g（x）有且只有一个根时，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据一元二次不等式和一元二次函数之间的关系可得2，4是二次函数f（x）的两个零点故可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）而f（x）图象的对称轴为x=3∈[0，4]可得出f（x）在[0，4]上的单调性就可求出f（x）在[0，4]上的最大值然后再结合条件f（x）在[0，4]上的最大值是8即可求出a的值．
（2）由（1）可得f（x）=g（x）有且只有一个根即x3-6x2+9x-k=0（x≠0）只有一个根令F（x）=x3-6x2+9x（x∈R），y=k则问题转化为函数F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）与y=k
有且只有一个交点而解决此类问题的常用方法是根据导数判断出F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）的单调性再求出其极值就可作出其大致图象然后移动y=k使得函数F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）与y=k有且只有一个交点的k的取值范围即为所求．
【解析】
（1）∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）图象的对称轴为x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x2-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等变形为x3-6x2+9x-k=0（x≠0）
设F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）
则F′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，F'（x）＞0
  当x∈（1，3）时，F′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上递减
∴当x=1时，F（x）取得极大值4
  当x=3时，F（x）取得极小值0      
又∵F（0）=0
∴当方程x3-6x2+9x-k=0（x≠0）有且只有一个根时k≤0或k＞4