Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）=f（x+2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，
（1）求x∈[2k-1，2k]（k∈Z）时，f（x）的表达式
（2）若A，B是f（x）图象上纵坐标相等的两点，且A，B两点的横坐标在[0，2]内，点C（1，0），求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）设出自变量属于要求的区间上的范围x∈[2k-1，2k]，得到2k-x∈[0，1]，代入解析式得到f（2k-x）=2k-x，根据函数是一个偶函数，得到f（x）=f（-x）=f（-x+2）=f（-x+2k）=2k-x
（2）由（1）知当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，函数f（x）的图象关于直线x=1对称，设出A，B两个点的坐标，表示出三角形的面积，根据二次函数的最值得到结果．
【解析】
（1）设x∈[2k-1，2k]，k∈Z，则2k-x∈[0，1]，那么f（2k-x）=2k-x
又f（x）=f（-x）=f（-x+2）=f（-x+2k）=2k-x
∴x∈[2k-1，2k]（k∈Z）时，f（x）=2k-x（6分）
（2）由（1）当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
设A（1-t，1-t），B（1+t，1-t），其中0＜t＜1
则AB=2t，，S△ABC=2t•（1-t）≤
即△ABC面积的最大值是（6分）