Question

若函数f（x）=x³+ax²+bx+c在R上有三个零点，且同时满足：
①f（1）=0；
②f（x）在x=0处取得极大值；
③f（x）在区间（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）当a=-2时，求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若g（x）=1-x，且关于x的不等式f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞），求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）首先由题目给出的条件求出b的值，a的范围及a和c的关系，然后把a=-2代入函数f（x）的解析式，求出函数在x=2时的导数，利用点斜式求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）把c用a表示，化简不等式f（x）≥g（x），把该不等式恒成立转化为二次不等式恒成立的问题，然后利用“三个二次”的结合列式求解实数a的取值范围．
【解析】
由f（1）=0得：1+a+b+c=0，f'（x）=3x2+2ax+b．
因为f（x）在x=0处取得极大值，所以 f'（0）=0，即b=0．
因为f（x）在区间（0，1）上是减函数，则f'（1）≤0，所以 3+2a≤0，所以 ．
（Ⅰ） 当a=-2时，f'（x）=3x2-4x，所以 f'（2）=4
由a=-2，b=0，1+a+b+c=0，所以 c=1
所以 f（x）=x3-2x2+1，则点（2，f（2））为（2，1），
所以切线方程为：y-1=4（x-2），即y=4x-7．
（Ⅱ） f（x）-g（x）=x3+ax2-1-a-1+x=x3+ax2+x-a-2，f（1）-g（1）=1+a+1-a-2=0
要使f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞），必须x2+（1+a）x+（a+2）≥0恒成立
所以，△=（1+a）2-4（a+2）＜0（1），或（2）
解得：（1）得，解（2）得-2．
又∵，∴-2≤a．
所以使不等式f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞）的实数a的取值范围是[-2，-]．