(Ⅰ)要证明直线PQ∥平面BMN,可在平面BMN中找到一条与PQ平行的直线即可,根据题目给出的P,Q分别是A1B1,BC的中点,想到取AB的中点G,连接PG,QG后分别交BM,BN于点E,F,根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出
,从而得到EF∥PQ,然后利用线面平行的判定即可得证;
(Ⅱ)求直线AB与平面BMC所成角的正弦值,首先是找角,由题意能够得到平面BMC⊥平面AMQ,所以直接过A作MQ的垂线
AO,连接BO,在直角三角形AOB中求解∠BAO的正弦值.
(Ⅰ)证明:如图,
取AB中点G,连结PG,QG分别交BM,BN于点E,F,
则E,F分别为BM,BN的中点.
而,,,.
且CN=3AN,所以 ,
所以.
所以 EF∥PQ,又 EF⊂平面BMN,PQ⊄平面BMN.
所以 PQ∥平面BMN;
(Ⅱ)【解析】
连接AQ,∵△ABC是等腰三角形,Q是BC的中点,∴AQ⊥BC,连接MQ,
作AO⊥MQ于O,连接BO,∵MA⊥平面ABC,∴MA⊥BC,
又AQ⊥BC,∴BC⊥平面AQM,∴BC⊥AO.
∵AO⊥MQ,∴AO⊥平面BCM,∴∠ABO就是AB与平面ABC所成在角.
在Rt△AQC中,∵∠QAC=60°,∴AQ=2.
在△RtAQM中,∵MQ=2,由AM•AQ=MQ•AO,得,
所以.