Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ） 由已知条件利用等差数列的前n项和公式，等比数列的性质列出方程组求得首项和公差，即得{an}的
通项公式．
（Ⅱ）先求出数列{bn}的通项公式，分n为奇数和n为偶数两种情况，利用分组求和法分别求得{bn}的前n项
和Tn．
【解析】
（Ⅰ） 由已知得：，化简可得 ．
因为  d≠0，所以，d=a1，∴2a1+9a1=11，所以 a1=1，d=1．
所以 an=1+（n-1）=n．…（6分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴（ⅰ） 当n为奇数时，+…+（-n+2n）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n）+（2+22+23+…+2n）
=+=2n+1--．
（ⅱ） 当n为偶数时，+…+（-n+2n）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n+1+n）+（2+22+23+…+2n）
=2n+1 +-2．
所以，．…（14分）