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一个数列中的数均为奇数时,称之为“奇数数列”. 我们给定以下法则来构造一个奇数数...

一个数列中的数均为奇数时,称之为“奇数数列”. 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{an},对于任意正整数n,当n为奇数时,an=n;当n为偶数时,an=manfen5.com 满分网
(1)试写出该数列的前6项;
(2)研究发现,该数列中的每一个奇数都会重复出现,那么第10个5是该数列的第几项?
(3)求该数列的前2n项的和Tn
(1)根据题意可知由此得该数列的前6项. (2)借助于递推公式知道奇数项的值为其项数,而偶数项的值由对应的值来决定.又通过前面的项发现项的值为5时,下角码是首项为5,公比为2的等比数列.即可求出第10个5在该数列中所占的位置. (3)由条件可得 Tn =[1+3+5+7+…+(2n-1)]+(a2 +a4 +a6+…+)=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+[1+3+5+7+…+(2n-1-1)]+[1+3+5+7+…+(2n-2-1)]+…+[1+3]+[2-1]+1, 根据1+3+5+7+…+(2n-1)=4n-1,可得 Tn =4n-1+4n-2+4n-3+…+41+4+1,根据等比数列前n项和公式求得结果. 【解析】 (1)根据题意可知 由此得:该数列的前6 项分别为1,1,3,1,5,3. (2)这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3… 仔细观察发现a5=5,a10=5,a20=5,a40=5… 即项的值为5时,下角码是首项为5,公比为2的等比数列. 所以第10个5是该数列的第5×210-1=2560项. 第10个5是该数列的第2560项. (3)由题意可得 Tn =[1+3+5+7+…+(2n-1)]+(a2 +a4 +a6+…+)=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+(a1+a2+a3+…+) =[1+3+5+7+…+(2n-1)]+[1+3+5+7+…+(-1)]+(a2 +a4 +a6+…+)  … =[1+3+5+7+…+(2n-1)]+[1+3+5+7+…+(2n-1-1)]+[1+3+5+7+…+(2n-2-1)]+…+[1+3]+[2-1]+1. 由于1+3+5+7+…+(2n-1)==(2n-1)2=4n-1, 故 Tn =4n-1+4n-2+4n-3+…+41+4+1=+1=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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