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如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,...

如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
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(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角E-DF-C的余弦值;
(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出manfen5.com 满分网的值;如果不存在,请说明理由.
(1)要证明线面平行,在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线,观察到平面BEF中三条已知直线中,EF可能与AB平行,故可以以此为切入点进行证明. (2)要求二面角的余弦,找出二面角的平面角,然后通过解三角形,求出这个平面角的余弦值,进而给出二面角的余弦值. (3)线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来. 【解析】 (1)AB∥平面DEF,理由如下 如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF∥AB, 又AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF. ∴AB∥平面DEF. (2)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连接EN,则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角 在Rt△EMN中,EM=1,MN=,EN=,所以cos∠MNE=. ∴tan∠MNE=,, ∴cos∠MNE=. 二面角E-DF-C的余弦值:. (3)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE 证明如下:在线段BC上取点P.使BP=BC, 过P作PQ⊥CD于Q, ∵AD⊥平面BCD ∴PQ⊥平面ACD ∴DQ=DC=, ∴tan∠DAQ=═=,∴∠DAQ=30° 在等边△ADE中,∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE.AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ, ∴AP⊥DE. 此时BP=BC, ∴=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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