Question

对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：

①若a＋c＝0，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实数根；

②若b²＋4ac<0，则方程ax²＋bx＋c＝0一定有实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程ax²＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；

④若方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根，则方程cx²＋bx＋a＝0一定有两个实数根．

其中正确的有________(填序号)．

Answer

①②

【解析】

对于①，由a+c=0可得a=-c，发现方程ax2+bx+c=0中△=b2-4ac=b2+4c2≥0，由此判断该方程根的情况；

对于②，由b2+4ac＜0可知4ac＜0，所以-4ac＞0.据此判断方程ax2+bx+c=0中△=b2-4ac的符号，确定方程根的情况；

类似地，还可对③，④中方程根的情况进行分析.需注意，当一元二次方程中二次项系数为零，一次项系数不为零时，方程变成一元一次方程.

①∵a+c=0，

∴a=-c，

∴b2-4ac=b2+4c2≥0，

故方程ax2+bx+c=0有实数根，故①正确；

②∵b2+4ac＜0，

∴4ac＜0，

∴-4ac＞0

∴b2-4ac＞0，

故方程ax2+bx+c=0一定有实数根，故②正确；

③∵a-b+c=0，

∴b=a+c，

∴b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，

故方程有实数根，但不一定有两个实数根，故③错误.

④若方程ax2+bx+c=0有两个实数根，但c可能等于0.

当c=0时，方程cx2+bx+a=0为一元一次方程，此时只有一个实数根，故④错误.

综上所述：正确的说法是①②.

故答案为：①②．