Question

•探究：

（1）图1中，已知线段AB，A（﹣2，0），B（0，3），则线段AO的长为2，BO的长为3，所以线段AB的长为；把Rt△AOB向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到Rt△CDE．

则Rt△CDE的顶点坐标分别为C（1，2），D（3，2），E（3，5）；此时线段CD的长为　   　，DE的长为　   　，所以线段CE的长为　   　．

（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB的长AB=　   　（用含a，b，c，d的代数式表示，写出推导过程）；

•归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d）时，线段AB的长为AB=　   　．（不必证明）

（3）运用    在图3中，一次函数y=﹣x+3与反比例函数y=的图象交点为A，B．

①求出交点A、B的坐标；

②线段AB的长；

③点P是x轴上动点，求PA+PB的最小值．

Answer

(1) 2；3；； (2) ； (3) ①点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，1）；② ；③ .

【解析】（1）根据点C、D、E的坐标可得出CD、DE的长度，利用勾股定理可求出CE的长度；

（2）过点A作x轴的平行线l1，过点B作y轴的平行线l2，直线l1、l2交于点E，根据点A、B的坐标可得出点E的坐标，继而可求得AE、BE的长，再利用勾股定理即可求得结论；

（3）①联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标；

②套用（2）的结论即可求得AB的长；

③作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB′的长，同样套用（2）的结论即可求得.

（1）∵C（1，2），D（3，2），E（3，5），

∴CD=2，DE=3，

∴CE= ，

故答案为：2；3；；

（2）在图2中，过点A作x轴的平行线l1，过点B作y轴的平行线l2，直线l1、l2交于点E，则点E的坐标为（c，b），

∴AE=c﹣a，BE=d﹣b，

∴AB= ，

故答案为：；

（3）①联立两函数解析式成方程组，得：

，解得： ，，

∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，1）；

②AB=；

③在图3中，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，

∵点B、B′关于x轴对称，

∴PB=PB′，

∴PA+PB=PA+PB′=AB′，

∵两点之间线段最短，

∴此时，PA+PB取最小值，

∵点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，1），

∴点B′的坐标为（2，﹣1），

∴AB′=，

∴PA+PB的最小值为．