Question

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD，

（1）求证：AO=EO；

（2）当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形？请说明理由．

Answer

(1)见解析 (2) ）当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形AECD是正方形

【解析】（1）证明△AOD≌△EOB，根据全等三角形的对应边相等即可得；

（2）先判定四边形ABED是菱形，可得当∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，据此即可得结论.

（1）∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

又∵AE⊥BD，

∴BO=DO，

又∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD≌△EOB，

∴AO=EO；

（2）当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形AECD是正方形．理由：

∵△AOD≌△EOB，

∴AD=BE，

又∵AD∥BE，AE⊥BD，

∴四边形ABED是菱形，

∴当∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，

即当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形AECD是正方形．