Question

如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　   　，请证明你的结论；

（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　   　；

（3）如图3，若=k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）

Answer

（1）1，证明见解析；（2）；（3） .

【解析】（1）如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，只需证明△PHM∽△PGN，根据相似三角形对应边成比例即可得；

（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H通过证明△PHM∽△PGN，可得，再根据△PHC∽△ACB，PG=HC，即可得；

（3）如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，易证△PMH∽△PGN，可得，由，得出，再根据DT∥PG，DK∥PH，可得，从而可推导得出，据此问题得以解决.

（1）如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，

∴CD平分∠ACB，

∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∴PG=PH，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴=1，

故答案为：1；

（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴，

∵△PHC∽△ACB，PG=HC，

∴，

故答案为：；

（3）如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，

易证△PMH∽△PGN，

∴，

∵，

∴，

∵DT∥PG，DK∥PH，

∴，

∴，

∴．