Question

如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O上，且∠CAB=30°．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为　   　时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为　   　时，四边形ADCB为矩形．

Answer

（1）证明见解析（2）cm，cm

【解析】（1）连接OB，要证明PB是切线，只需证明OB⊥PB即可；

（2）利用菱形、矩形的性质，求出圆心角∠COD即可解决问题.

（1）如图连接OB、BC，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OC，∵PC=OA=OC，

∴BC=CO=CP，

∴∠PBO=90°，

∴OB⊥PB，

∴PB是⊙O的切线；

（2）①的长为cm时，四边形ADPB是菱形，

∵四边形ADPB是菱形，∠ADB=△ACB=60°，

∴∠COD=2∠CAD=60°，

∴的长=cm；

②当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD=120°，

∴的长=cm，

故答案为：cm， cm.