Question

在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O,    且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

(1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；

(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；

(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；

（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；

（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．

试题解析：（1）如图1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD；

（2）如图2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

（3）如图3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．

点睛：此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.