Question

如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与C重合，折痕EF交AD于E，交BC于F，交AC于O，连结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：AE²=AO•AP；

（3）若AE=8，△ABF的面积为9，求AB+BF的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB+BF=10．

【解析】试题分析：（1）当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由题意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴四边形AFCE是菱形．

（2）由EP⊥AD，得∠AEP=90°，可证明△AOE∽△AEP，写出比例式，即可得出AE2=AO•AP；

（3）根据四边形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB2+BF2=AF2，AB2+BF2=82，即可得出（AB+BF）2﹣2AB•BF=64①，根据△ABF的面积为9，可求得AB•BF=18②，再由①、②得：（AB+BF）2=100，得出AB+BF=10．

试题解析：（1）当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是菱形；

（2）∵EP⊥AD，∴∠AEP=90°，

∵∠AOE=90°，∴∠AEP=∠AOE，

∵∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴ ，

∴AE2=AO•AP；

（3）∵四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=8，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴AB2+BF2=82，∴（AB+BF）2﹣2AB•BF=64①，

∵△ABF的面积为9，∴ AB﹒BF=9，∴AB•BF=18②，

由①、②得：（AB+BF）2=100，

∵AB+BF＞0，

∴AB+BF=10．

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的综合运用，解题的关键是要结合图形选择适合的知识点进行解答.