Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．

（1）求证：AC与⊙O相切．

（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的面积为16π．

【解析】试题分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；

（2）证△AEO∽△ACB，得出关于r的方程，求出r即可．

试题解析：（1）连接OE，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∵BD=BF，

∴∠ODE=∠F，

∴∠OED=∠F，

∴OE∥BF，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴AC与⊙O相切；

（2）由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴，

设⊙O的半径为r，则，

解得：r=4，

∴⊙O的面积π×42=16π．

考点：1.等腰三角形的性质，2.切线的判定，3.平行线的性质和判定，4.相似三角形的性质和判定.