Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．

（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．

Answer

（1）作图见解析；（2）AF∥BC且AF=BC，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；

（2）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据三角形的外角的性质，可得∠DAC=∠ABC+∠C，根据内错角相等，可得两直线平行，根据ASA，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论．

试题解析：（1）如图：

（2）AF∥BC且AF=BC，理由如下：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠DAC=∠ABC+∠C，∴∠DAC=2∠C，

由作图可知∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC；

∵E是AC的中点，∴AE=CE，

在△AEF和△CEB中， ,∴△AEF≌△CEB （ASA），

∴AF=BC．