Question

已知：抛物线l₁：y=﹣x²+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣ ）．

（1）求抛物线l₂的函数表达式；                       

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；   

（3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣；（2）（1，1）；（3）12．

【解析】试题分析：（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．

试题解析：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1， ∴﹣=1，解得b=2，

∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3， 令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），

∵抛物线l2经过点A、E两点， ∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），

又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣）， ∴﹣=﹣5a，解得a=， ∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，

∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；

（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4， ∵PC=PA，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1， ∴P点坐标为（1，1）；

（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣）， ∵MN∥y轴， ∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，

显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；

②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，

显然当x＞时，MN随x的增大而增大，

∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；

综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．

考点：二次函数综合题．