Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D.

（1）求证：∠BAE=∠CAD.

（2）若⊙O的半径为4，AC=5，CD=2，求CF.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆周角定理得出∠BEA=∠ACD，即可得出结论；（2）证明△ABE∽△ADC，得出对应边成比例，求出BE，由圆周角定理，得出CF=BE=即可．

试题解析：(1)证明：∵AE是O的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠BEA=90°，

∵AF⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∵∠BEA=∠ACD，

∴∠BAE=∠CAD；

(2)∵∠ABE=∠ADC=90°，∠BEA=∠ACD，

∴△ABE∽△ADC，

∴,即，

解得：BE=，

由(1)得：∠BAE=∠CAD，

∴，

∴CF=BE=.