Question

如图，已知ΔABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD，AC、BD交于点E．

（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明(不添加其他线条的情况下)；

（2）若∠D＝45°，BC＝4，求⊙O的面积．

Answer

（1）△ABE∽△DCE 证明见解析；

（2）8

【解析】试题分析：（1）容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；（2）求 O的面积，关键是求 O的半径，为此作 O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC=2，求出BF的长，从而求出 O的面积．

试题解析：(1)结论：△ABE∽△DCE，

证明：在△ABE和△DCE中，

∵∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，

∴△ABE∽△DCE.

(2)作O的直径BF，连接CF，

∴∠F=∠D=45°,∠BCF=90°.

∴△BCF是等腰直角三角形。

∵FC=BC=4，

∴BF=4.

∴OB=2.

∴SO=OB2⋅π=8π.