Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作射线CM且满足∠ACM=∠ABC．

（1）判断CM与⊙O的位置关系，并证明；

（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）△AEC的外接圆的半径为

【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质利用∠ACM=∠ABC求出答案；（2）首先得出△AEC的外接圆的直径是AC，进而结合相似三角形的性质得出AC的长，进而得出答案．

试题解析：（1）证明：如图，连接OC

∵AB为O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠ACM=∠ABC，∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA+∠ACM=90°，

∴CM是O的切线；

(2)∵BC=CD，

∴OC∥AD，

又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，

∴△AEC是直角三角形，

∴△AEC的外接圆的直径是AC，

又∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，

∴，

O的半径为3，

∴AB=6，

∴，

∴BC2=12，

∴BC=2，

∴AC=，

∴△AEC的外接圆的半径为.

故答案为： .