Question

如图，已知二次函数y=﹣x²+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4；

（2）存在，P（）

（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，满足条件的点D的坐标为D（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．

【解析】试题分析：（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；

（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐标．

试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

∴，

解得，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，

（2）存在.

∵y=−x2−3x+4，

∴对称轴为x=−，

∵A(−4,0)，

∴B(1,0)，

∵P在对称轴上，

∴PA=PB，

∴|PA−PC|=|PB−PC|⩽BC，即当P、B. C三点在一条线上时|PA−PC|的值最大，

设直线BC解析式为y=kx+b，

∴，

∴直线BC解析式为y=−4x+4，

令x=−可得y=−4×(−)+4=10，

∴存在满足条件的点P,其坐标为(−,10)；

（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，

理由：①以AB为边时,则有CQ∥AB，即点Q的纵坐标为4，

∵CQ=AB=5,且C(0,4)，

∴Q(−5,4)或(5,4)，

②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，

∵A、B中点坐标为(−,0),且C(0,4)，

∴Q点横坐标=2×(−)−0=−3，Q点纵坐标=0−4=−4，

∴Q(−3,−4)，

综合可知存在满足条件的点D,坐标为(−5,4)或(5,4)或(−3,−4).

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在（1）中注意 待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出点P的位置是解题的关键，在（3）中分AB为边和AB为对称线两种情况分别求解是解题的关键.