Question

（1）观察与归纳：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线l与y轴平行，点M与点N     是直线l上的两点（点M在点N的上方）．

①亮亮发现：若点M坐标为（2，3），点N坐标为（2，﹣4），则MN的长度为_____； ②亮亮经过多次取l上的两点后，他归纳出这样的结论：若点M坐标为（t，m），点N坐标为（t，n），当m＞n时，MN的长度可表示为______；

（2）如图2，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，OAB=90，OA=AB，点C在第四象限，B点的坐标为（6，0），且OC=5．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点0、B重合），过点P作与y轴平行的直线l，设点P横坐标为t．

①已知当t=4时，直线l恰好经过点C，求点A、C两点的坐标；

②在①的条件下，直线l上有一点M，当MB=OC时，直接写出满足条件的点M坐标；

③如图3延长线段BA交y轴于点D将线段BD顺时针旋转60，D点的对应点为点E，是否存        在x轴上的点Q,使得QD+QE的值最小，若存在请求出点Q的坐标，并求出OQD的度数；        若不存在，请说明理由.

Answer

（1）7 m-n;(2)①A(3,3), C(4,-3),②M(4,)或(4,-); ③存在，Q(,0)，OQD=600

【解析】试题分析：（1）直线l与y轴平行，M（x1，y1），N（x2，y2），M、N两点横坐标相等，再根据AB的长度为|y1﹣y2|即可求得，

(2) ①过A点作AEOB于点E,由直角三角形三边关系得出点A、C的坐标；②直接得出即可；③连接QD、BF,构造直角三角形和解直角三角形

试题解析：（1）① 7 ② m-n

(2)如图2. ①过A点作AEOB于点E,

OAB=900,OA=AB ,B(6,0),AEOB

∴OE=AE=BE=OB=3, AOB=AOB= 450,A(3,3).

在RtOPC中，OC=5,OP=4,得PC=3,

∴C(4,-3)

②M(4,)或(4,-)

③如图3.设D点关于x轴的对称点为点F,连接EF交x轴于点Q,

连接QD、BF,则DBO=FBO= BDO=BFO= 450,BD=BF,

OD=OB=6,DBF=900.

DBE=600,BD=BE,DBF=900,

∴FBE=1500,BE=BF,BFE=150,QFO=300,

由对称可知：QFO=QDO=300,得OQD=600.

设OQ=x,则DQ=2x

在RtODQ中，

∴

∴x=

∴ Q(,0)