Question

如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，

   过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，

   交AB交于F，垂足为E．

（1）求D点的坐标；

（2）求证：OF=OG；

（3）若点F的坐标为（，0），在第一象限内是否存在点P，使△CFP是以CF为腰长

     的等腰直角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）D（2，2）；（2）证明见解析；（3）P的坐标为（，），（4，），（，）．

【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系数法求得BC的解析式为y=-x+4，根据三角形的面积得到DH=2，即可得到结论；

（2）根据已知条件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性质得到∠GAO=∠GCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）根据直线AD的解析式y=x+，求得OF=OG=，①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，过P作PH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH=OF=，FH=OC=4，于是得到P1（，）；②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，根据全等三角形的性质得到PH=OC=4，CH=OF=，于是得到P2（4，）；③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，根据全等三角形的性质得到PN=PM，CN=FM，根据ON=OM，列方程得到CN=CM=，于是得到P3（，）．

试题解析：（1）如图1，作DH⊥x轴于H，

∵OA=OB=OC=4，

∴AB=8，B（4，0），C（0，4），

设BC的解析式为y=kx+b，

把B，C两点代入得，解得：，

∴BC的解析式为y=-x+4，

∵△ABD的面积为8，AB=8，

∴DH=2，

所以D点的纵坐标为2，

把y=2代入y=-x+4得：x=2，

∴D（2，2）；

（2）∵CE⊥AD，

∴∠CEG=∠AOG=90°，

又∵∠AGO=∠CGE，

∴△AGO～△CGE，

∴∠GAO=∠GCE，

在△COF与△AOG中，

，

∴△COF≌△AOG，

∴OF=OG；

（3）存在，∵A（-4，0），D（2，2），

∴直线AD的解析式为y=x+，

∴OG=，

∴OF=OG=，

①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，

过P作PH⊥x轴于H，

∴∠PHF=∠COF=90°，

∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH，

在△COF与△PFH中，

，

∴△COF≌△PFH，∴PH=OF=，FH=OC=4，

∴OH=，

∴P1（，）；

②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，同理证得△PHC≌△CFO，

∴PH=OC=4，CH=OF=，

∴OH=，

∴P2（4，）；

③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，

过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，

∴四边形PNOM是矩形，

∴∠NPM=90°，

∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°，

∴∠CPN=∠FPM，

在△CPN与△FPM中，

，

∴△PNC≌△PMF，

∴PN=PM，CN=FM，

∴矩形PNOM是正方形，

∴ON=OM，

∴4-CN=+CN，

∴CN=CM=，

∴PN=PM=，

∴P3（，），

综上所述：P的坐标为（，），（4，），（，）．

考点：三角形综合题．