Question

在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：

已知：如图在△ABC中，点D 是BA边延长线上一动点，点F 在BC上，且，连接DF交AC于点E .

（1）如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出的值；

（2）如图2，当时，请求出的值（用含a的代数式表示）.

思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：

甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；

乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；

丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；

老师说：“这三位同学的想法都可以” .

请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问的值.

        

图1                                  图2

Answer

(1) ;(2)

【解析】试题分析：（1）分别对三种情况进行求解即可；（2）由（1）的结果直接得出的值.

试题解析：

（1）甲同学的想法：过点F作FG∥AB交AC于点G ．

∴∠GFE=∠ADE，∠FGE=∠DAE

∴△AED∽△GEF.

∴ ．

∵E为DF的中点，

∴ED=EF ．

∴AD=GF ．

∵FG∥AB，

∴△CGF∽△CAB.

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

乙同学的想法：过点F作FG∥AC交AB于点G ．

∴ ．

∵E为DF的中点，

∴ED=EF ．

∴AD=AG ．

∵FG∥AC，

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

丙同学的想法：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G ．

∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE

∴△GDE∽△CFE.

∴ ．

∵E为DF的中点，

∴ED=EF ．

∴DG=FC．

∵DG∥BC，

∴∠C=∠G，∠B=∠ADG

∴△ADG∽△ABC.

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

（2）．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例进行推导．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．