Question

如图，在ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．

（1）求证：四边形ADEC是矩形；

（2）在ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．

Answer

(1)见解析；（2）48.

【解析】试题分析：(1)先根据两组对边平行的四边形是平行四边形证明四边形ACED是平行边形，再证明∠DAC＝90o即可；(2)在Rt△ABC中求得AB、BC的长度，再由平行四边形的性质可得DE＝AC、AD＝BC求得DE、AD的长度，再计算机四边形ADEC的面积.

试题解析：

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

又∵DE∥AC，

∴四边形ADEC是平行四边形．

又∵AC⊥BC，

∴∠ACE＝90º．

∴四边形ADEC是矩形．

（2） ∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90º．

∵M是AB的中点，

∴AB=2CM=10．

∵AC=8，

∴．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD．

又∵四边形ADEC是矩形，

∴EC=AD．

∴EC= BC=6．

∴矩形ADEC的面积=．

【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．