Question

（本题满分12分）已知：点E为AB边上的一个动点.

（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC ，连结AD.试比较∠DAC与∠B的大小，并说明理由；

（2）如图2，若△ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC ，且

△DEC∽△ABC，连结AD.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；

（3）如图3，若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF.

①试说明点G一定在AD的延长线上；

②当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长.

Answer

（1）∠DAC=∠B 理由见解析；（2）AD∥BC 理由见解析；（3）点F的运动路径长为.

【解析】【解析】
(1) ∠DAC=∠B 理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等边三角形 ∴∠DCE=∠ACB=60° ∴∠BCE=∠ACD

∵BC=AC CE=CD ∴△BCE≌△ACD ∴∠B=∠DAC

（2）AD∥BC 理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC ∴

∵∠DCE=∠ACB ∴∠DCA=∠ECB ∴△DCA∽△ECB

∴∠DAC=∠EBC=∠ACB ∴AD∥BC

（3）①连结DG,∵四边形ABCD和FECG都是正方形

∴BC=CD CE=CG ∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCE=∠DCG∴△BCE≌△DCG …∴∠B=∠CDG=90°

∵∠ADC=90°∴∠ADC+∠CDG=180°

∴点G一定在AD的延长线上.

②作FH⊥AG于点H，易证：△FHG≌△GDC≌△EBC

∴FH=BE=DG HG=BC

∴AH=AG-GH=AD+DG-GH= BC+DG-BC=DG=FH

∴△AFH是等腰直角三角形

∴∠FAG=45°

∴点F的运动路径长=AC=.