Question

（本题满分10分）如图，点E是边长为1的正方形ABCD的边AB上任意一点（不含A、B），过B、C、E三点的圆与BD相交于点F，与CD相交于点G，与∠ABC的外角平分线相交于点H．

（1）求证：四边形EFCH是正方形；

（2）设BE＝x，△CFG的面积为y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．

Answer

（1）证明见解析；(2) 当x＝ 时，y有最大值

【解析】（1）证明：∵B、H、C、F、E在同一圆上，且∠EBC＝90°

∴∠EFC＝90°，∠EHC＝90°

又∠FBC＝∠HBC＝45°，∴CF＝CH

∵∠HBF＋∠HCF＝180°，∴∠HCF＝90°

∴四边形EFCH是正方形

（2）∵∠BFG＋∠BCG＝180°，∴∠BFG＝90°

由（1）知∠EFC＝90°，∴∠CFG＋∠BFC＝∠BFE＋∠BFC

∴∠CFG＝∠BFE，∴CG＝BE＝x

∴DG＝DC－CG＝1－x

易知△DFG是等腰直角三角形∴△CFG中CG边上的高为 DG＝ ( 1－x )

∴y＝ x· ( 1－x )＝－ ( x－ )2＋

∴当x＝ 时，y有最大值