Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线与x轴交于O，A，点B在抛物线上且横坐标为2.

（1）如图1，△AOB的面积是多少？

（2）如图1，在线段AB上方的抛物线上有一点K，当△ABK的面积最大时，求点K的坐标及△ABK的面积；

（3）在（2）的条件下，点H 在y轴上运动，点I在x轴上运动. 则当四边形BHIK周长最小时，求出H、I的坐标以及四边形BHIK周长的最小值.

      

Answer

（1）；（2）当有最大值16.

【解析】分析：（1）把点B的横坐标2求出纵坐标4，然后利用三角形面积公式计算即可；(2)设点K()，求出直线AB的解析式为： ，进而求出点M（m, ）,表示出的面积化为顶点式即可求解；（3）作B点关于y轴对称点，作K点关于x轴的对称点,连接，求出， 的解析式,利用最短路径求解.

本题解析：

（1）当时，得； 当时， ，所以

（2）过K作

，

, ∴直线AB的解析式为：

,

， =16.

（3）作B点关于y轴对称点 （-2,4），作K点关于x轴的对称点 (6,-6),连接 ,分别交y轴x轴于H,I两点，此时四边形BHIK的周长最小.

∴四边形BHIK周长的最小值为.