Question

在△ABC中，AB=AC，D为射线BA上一点，连接DC，且DC=BC.

（1）如图1，若DC⊥AC，AB=，求CD的长；

（2）如图2，若E为AC上一点，且CE=AD；连接BE，BE=2CE，连接DE并延长交BC于F.求证：DF=3EF.

Answer

（1）CD=；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）由AB=AC,DC=BC,可得出∠1=∠2=∠3=30°，利用特殊三角函数值即可求解；（2）过A作AH⊥DF于H,利用和可得结果.

本题解析：

解∵AB=AC，BC=DC∴∠1=∠2，∠1=∠3 ∴∠2=∠3 又∵DC⊥AC ∴∠ACD=900∴∠1+∠2+∠3=900 ∴∠1=∠2=∠3=300

∵AB=∴AC= ∴CD=

②证明：∵AB=AC，BC=DC∴∠ABC=∠ACB，∠ABC=∠CDA

∴∠BCE=∠CDA 又∵BC=DC，CE=DA ∴ ∴CE=AD，BE=AC

又∵BE=2CE ∴AE=CE，AD=AE ，过A作AH⊥DF于H,则∠DAH=∠HAE，DH=EH, 又∵∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB ,∴∠HAE=∠ACB ,又∵∠AEH=∠CEF，AE=CE∴ ∴EH=EF ,∴DH=EH=EF，即DF=3EF