Question

若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形．

（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；

（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）存在，（3）

【解析】

试题分析：（1）根据要求画图即可，体现内接的特点；

（2）如解图②，分别作点D关于AB、AC的轴对称点、，连接，交AB、AC于点E、F，

连接DE、DF，则△DEF即为周长最小的内接三角形，然后过点A作AH⊥EF于点H，根据对称性求解即可；

（3）分两种情况讨论：①当内接等腰直角三角形的直角顶点在斜边AB上时；②当内接等腰直角三角形的直角顶点在直角边上时．

试题解析：（1）如解图①，△DEF为所求作的三角形（答案不唯一）；

（2）存在．

如解图②，分别作点D关于AB、AC的轴对称点、，连接，交AB、AC于点E、F，

连接DE、DF，则△DEF即为周长最小的内接三角形，

的长即为最小周长．

∵AB＝８，∠Ｂ＝45°，AD⊥BC，∴AD＝AB·si45°＝．

∵点D关于AB、AC的轴对称点分别为、，

∴AD′＝＝AD＝，∠＝2∠BAC＝120°,

过点A作AH⊥EF于点H，

在Rt△中，∠＝30°,

∴＝·cos30°＝,

∴△DEF周长的最小值为；

（3）分类讨论：

①当内接等腰直角三角形的直角顶点在斜边AB上时，

如解图③，∵∠ACB＝∠EDF＝90°，

以EF为直径画圆，则点Ｃ、Ｄ在圆上，

连接CD，∵DE＝DF，

∴∠ACD＝∠BCD，又∵AC＝BC，

∴CD是AB边上的中线，点D是AB边的中点，

过点D作DE′⊥AC，DF′⊥BC，此时，DE′、DF′最短．

当点E与E′重合，点F与F′重合时，△DEF的面积最小，

此时四边形CEDF为矩形．

设DE＝x，则BC＝2DE＝2x＝6，

∴x＝3，∴S最小＝；

②当内接等腰直角三角形的直角顶点在直角边上时，如解图④，

过点F作FG⊥BC于点G，设DG＝y，GF＝x，易证△CDE≌△GFD，

∴CD＝FG＝x，

∵∠B＝45°，FG⊥BC，

∴GB＝GF＝x，

∴BC＝CD＋DG＋GB＝2x＋y＝6，即y＝6－2x．

故当x=时，

∵,

∴△DEF的面积存在最小值，其最小值为．

考点：1．三角形的内接三角形，2．二次函数及最值问题