Question

(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋4与x轴的一个交点为A(－2，0)，与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．

Answer

(1) 抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 ；(2) M的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4).

【解析】【解析】
(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－2，0)，∴0＝4a－2b＋4，∵对称轴是直线x＝3，∴－＝3，即6a＋b＝0，关于a，b的方程联立解得 a＝－，b＝，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 (2)∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC＝MN.①N点在M点下方，即M点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．设M1(x，－ x2＋x＋4)，则N1(x＋3，－ x2＋x)，∵N1在x轴上，∴－x2＋x＝0，解得 x＝0(M与C重合，舍去)，或x＝6，∴xM＝6，∴M1(6，4)；②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．设M(x，－ x2＋x＋4)，则N(x－3，－ x2＋x＋8)，∵N在x轴上，∴－x2＋x＋8＝0，解得 x＝3－，或x＝3＋，∴xM＝3－或3＋.∴M2(3－，－4)或M3(3＋，－4)．综上所述，M的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4)